基礎数理（平成26年度冬学期） 講義予定 ----------------------------------------------------------------- 第0部 この講義について 工学における数学の役割，モデルとデータ，現象と論理，共通の論理構造 ----------------------------------------------------------------- 第1部 集合 （物事の関係を整理する手法） [３回] ［第１回］ 1 集合と集合関数 1.1 集合に関する記号 1.2 包除原理 （個数の数え方） 要素数，モジュラ関数，加法的集合関数 1.3 劣モジュラ関数 （自由度や容量のもつ性質） 最大値 部分空間の次元 ［第２回］ 2 2項関係 （同種の物の間の関係） 2.1 順序関係 2項関係とグラフ，推移的閉包 2.2 同値関係 （分類の手法） 同値類，商構造，well-defined，有理数の構成 2.3 擬順序関係 （サブシステムの捉え方） 同値関係+半順序，グラフの強連結成分分解， サブシステムへの分解と階層構造 2.4 集合族 イデアル，分配束，コンパクトな表現 ［第３回］ 3 接続関係 （異種の物の間の関係） 2部グラフ 方程式系の構造解析，ブロック三角化，階層の抽出， Dulmage-Mendelsohn分解（DM分解） 劣モジュラ関数との関係 ----------------------------------------------------------------- 第2部 行列 （線形性をもつシステムを扱う手法） [５回] ［第４回，第５回］ 1 序 1.1 線形システム 1.2 標準形とは 許容変換・不変量・美しい形（代表元） 許容変換---座標のとり方の自由度（＝恣意性＝非本質） 不変量 ---本質はなにか 美しい形---計算と理解に便利な表現形式 1.3 工学における行列 行列は どのように 生じるか---偏微分方程式，線形計画 どのような 行列が 生じるか---大規模疎行列 何を どのように 計算するか---数値計算法 ［第６回］ 2 線形方程式系 2.1 線形独立性 線形独立，線形従属 2.2 階数（ランク） ランク標準形 2.3 基本変形 行基本変形，列基本変形 2.4 可解性 2.5 行列式 Laplace展開，多重線形性 2.6 逆行列とCramerの公式 ［第７回］ 3 対称行列 3.1 固有値の定義 実数性，一般化固有値 3.2 固有値標準形 直交変換による対角化 3.3 最大最小定理 Rayleigh商 3.4 正定値性 正定値，半正定値，２次形式の凸性 3.5 ２次形式 楕円体，合同変換による対角化，Sylvesterの慣性律，符号， 平方完成 ［第８回］ 4 非対称行列の固有値 4.1 固有値の定義と意味 特性方程式 4.2 Jordan標準形 5 非対称行列の特異値 5.1 特異値の定義と意味 直交変換の下での不変性，計量 5.2 特異値分解 ----------------------------------------------------------------- 第3部 位相 （近似の良さを扱う手法） [５回] ［第９回］ 1 近似と収束 1.1 数値の近似 Newton法（方程式の数値解法），収束の定義，速さ 1.2 関数の近似 Fourier級数，多項式近似，ウェーブレット 2 数列の収束 2.1 収束の定義 2.2 点列の収束と実数の連続性 有界性，単調増大列，収束部分列，有理数と実数の対比 2.3 Cauchy列 基本列 ［第１０回，第１１回］ 3 距離空間 （近似を論じる土俵） 3.1 距離空間の定義 距離の公理，距離空間の例 3.2 収束 開球 3.3 完備性 （近似の努力が報われる） Cauchy列，連続関数の空間 3.4 開集合，閉集合，コンパクト集合 ［第１２回，第１３回］ 4 連続関数 4.1 関数の連続性 連続性の定義 4.2 連続関数の性質 最大値と最小値 （最適化の努力が報われる） 4.3 一様収束 （関数列が収束するとは） 関数列の極限，関数の間の距離，一様ノルム，積分の収束 4.4 縮小写像の原理 （関数の存在を証明する） 陰関数定理，等式制約下の最適化におけるラグランジュの未定乗数法 -----------------------------------------------------------------